Далее: 7.  Холодильные машины Вверх: Термодинамика Назад: 5.4.  Второе начало термодинамики

6.  Первое и второе начала термодинамики
в теории тепловых машин

Конечной целью создания машины является производство полезной работы. Согласно первому началу термодинамики в виде (3) это возможно либо за счет поглощения тепла от внешних тел, либо за счет уменьшения внутренней энергии системы. Однако если мы поставим условие непрерывности работы машины в течение длительного времени, то эта работа должна иметь периодический характер, а соответствующий термодинамический процесс должен представлять собой многократное повторение цикла. При этом производство работы за счет уменьшения внутренней энергии становится невозможным, так как каждое прохождение рабочего цикла возвращает систему в начальное термодинамическое состояние, изменение внутренней энергии в обратимом цикле $\Delta U\,=\, 0$, а работа может производиться только за счет теплообмена с внешними телами:

$$A\ =\ Q\;.$$

Здесь $A$ и $Q$ - алгебраические суммы произведенной работы и поглощенного тепла в цикле (то есть разные участки цикла могут давать в них как положительные, так и отрицательные вклады).

Отсюда вытекает важнейший вывод.

Невозможно создать циклически действующую машину, которая производила бы полезную работу, не поглощая энергии из окружающей среды (вечный двигатель первого рода).

Принцип невозможности создания вечного двигателя первого рода непосредственно вытекает из первого начала термодинамики и может выступать в качестве одной из его формулировок.

Замечание. Существует широко распространенный тип двигателей, производящих работу за счет поглощения энергии внешнего источника электрического тока (электромоторы). Их функционирование можно описать с позиций первого начала термодинамики следующим образом. Если не рассматривать непроизводительные потери энергии на выделение джоулева тепла, перемагничивание сердечников и трение механических деталей, то теплообмен с внешней средой можно считать отсутствующим: $Q\,=\,0$ . Работа должна быть разделена на две части противоположных знаков: работа внешних электромагнитных сил $A_{\text{вн}}$ (она выполняет роль поглощенного тепла) и полезная работа $A$. С учетом этого уравнение (3) принимает вид:

$$A_{\text{вн}}\ =\ A\,+\,\Delta U\;.$$

Изменение внутренней энергии (энергии внутренних электромагнитных полей и токов) за рабочий цикл равно нулю. Таким образом, электромотор действует как преобразователь работы внешних электромагнитных сил в полезную механическую работу.

Существуют машины, производящие работу за счет преобразования различных форм механической энергии, например ветряные и водяные мельницы.

В связи с этим мы для общности в формулировке принципа невозможности вечного двигателя первого рода заменили понятие "поглощенное тепло" на понятие "поглощенная энергия". В дальнейшем, однако, будем вести речь только о тепловых двигателях.

Если термодинамический процесс в рабочем цикле двигателя считать обратимым, то суммарное изменение энтропии за цикл равно нулю (принцип энтропии). Однако, согласно (12), при поглощении тепла энтропия может лишь возрастать (абсолютная температура - величина всегда положительная). Значит, в цикле теплового двигателя наряду с процессами поглощения тепла от внешнего источника обязательно должны присутствовать процессы, в которых избыточная энтропия (и вместе с ней тепло) отдается во внешнюю среду.

Количество поглощенного (выделенного) тепла на малом участке обратимого процесса связано с изменением энтропии соотношением

$$\Delta Q\ =\ T\,\Delta S\;.$$

Из этого равенства следует, что одно и то же изменение энтропии при высокой температуре связано с поглощением (выделением) большего количества тепла, чем при низкой температуре.

В применении к тепловым двигателям это означает, что для преобразования как можно большей доли поглощенного тепла в полезную работу нужно процесс поглощения тепла проводить при как можно более высокой температуре (чтобы уменьшить количество поглощенной попутно энтропии), а процесс выделения избыточной энтропии осуществлять при как можно более низкой температуре (чтобы уменьшить количество отдаваемого попутно тепла).

Отсюда естественным образом возникают понятия "нагреватель" и "холодильник". Нагреватель - это внешнее тело, от которого система (рабочее тело) поглощает тепло. Холодильник - это внешнее тело, которому система передает избыточную энтропию.

Рис. 14 

Таким образом, в соответствии с первым и вторым началами термодинамики действие теплового двигателя можно схематически представить следующим образом (рис. 14): рабочее тело получает за цикл от нагревателя тепло $Q_{1}$, при этом его энтропия увеличивается на $\Delta S$; для возврата в начальное состояние рабочее тело отдает холодильнику избыток энтропии $\Delta S$ и вместе с ним порцию тепла $Q_{2}$ (по абсолютной величине); в результате за цикл призводится работа

$$A\ =\ Q_{1}\ -\ Q_{2}\;.$$

Из проведенных рассуждений следует важный вывод.

Невозможно создать циклически действующую машину, которая все поглощенное из внешней среды тепло переводила бы в полезную работу (вечный двигатель второго рода).

Вечный двигатель второго рода, если бы он мог существовать, по своей практической значимости действительно заслуживал бы название вечного, так как он мог бы использовать огромные запасы внутренней энергии земных тел (например, воды океанов). Обратим внимание, что вечный двигатель второго рода не нарушает закона сохранения энергии, однако он запрещен вторым началом термодинамики, в то время как вечный двигатель первого рода запрещен первым началом термодинамики.

Карно первым высказал мысль о том, что тепловая машина производит работу не за счет поглощения тепла, а благодаря передаче тепла от горячего тела к холодному. Он употребил аналогию с водяной мельницей, которая использует механическую энергию воды, падающей с более высокого уровня на более низкий. Поэтому открытие второго начала термодинамики связывают с именем Карно.

Принцип невозможности создания вечного двигателя второго рода называют принципом (постулатом) Томсона, поскольку В. Томсон (лорд Кельвин) использовал его при построении термодинамики в качестве формулировки второго начала. Эквивалентность принципа Томсона, принципа энтропии и постулата Клаузиуса предлагается доказать в задаче 6.8.

Эффективность работы теплового двигателя количественно характеризуется коэффициентом полезного действия (к.п.д.), который вычисляется как отношение произведенной работы к поглощенному теплу:

$$\eta\ =\ \frac{A}{Q_{1}}\;,$$

что, согласно первому началу термодинамики, можно переписать в виде:

$$\eta\ =\ \frac{Q_{1}\,-\,Q_{2}}{Q_{1}}\ =\ 1\ -\ \frac{Q_{2}}{Q_{1}}\;.$$ (14)

К.п.д. двигателя не может достигать единицы, так как в этом случае нарушалось бы второе начало термодинамики ($Q_{2}=0$ - вечный двигатель второго рода).

Для цикла Карно отношение выделенного тепла к поглощенному определяется формулой (4):

$$\frac{Q_{2}}{Q_{1}}\ =\ \frac{T_{2}}{T_{1}}\;\;\;.$$

Подставляя это отношение в (14), получим известную формулу для к.п.д. цикла Карно:

$$\eta\ =\ \frac{T_{1}\,-\,T_{2}}{T_{1}}\ =\ 1\ -\ \frac{T_{2}}{T_{1}}\;.$$ (15)

Мы получили отношение (4) исходя из постулата Клаузиуса и далее с его помощью обосновали принцип энтропии. В то же время легко видеть, что (4) есть не что иное, как принцип энтропии, примененный к циклу Карно. Этот результат с учетом определения к.п.д. (14) приводит к знаменитой теореме Карно:

К.п.д. идеального обратимого цикла Карно однозначно определяется температурами нагревателя и холодильника и не зависит от рабочего вещества и степени сжатия.

В широком смысле теорема Карно содержит еще два утверждения, являющиеся следствием принципа энтропии:

1. К.п.д. любого идеального обратимого цикла, для которого температура рабочего тела на всех участках цикла удовлетворяет неравенству $T_{2}\,\leq\,T\,\leq\,T_{1}$, не превышает к.п.д. цикла Карно с температурой нагревателя $T_{1}$ и температурой холодильника $T_{2}$.
2. К.п.д. необратимого цикла Карно не превышает к.п.д. обратимого цикла Карно с теми же температурами нагревателя и холодильника.

Для доказательства первого утверждения разобьем произвольный обратимый цикл на малые участки, для которых можно вычислять приращение энтропии по формуле (12):

$$\Delta S_{i}\ =\ \frac{\Delta Q_{i}}{T_{i}}\;.$$

Просуммируем приращения энтропии на всех участках, где идет поглощение тепла:

$$\Delta S_{+}\ =\sum\ \frac{\Delta Q_{i+}}{T_{i}}\;.$$

Заменим в правой части равенства все температуры $T_{i}$ на максимальную температуру $T_{1}$. При этом, поскольку замена осуществляется в знаменателях дробей, для каждого из слагаемых будет справедливо

$$\frac{\Delta Q_{i+}}{T_{i}}\ \geq\ \frac{\Delta Q_{i+}}{T_{1}}\;,$$

а для всей суммы

$$\Delta S_{+}\ \geq\ \frac{Q_{1}}{T_{1}}\;,$$

где $Q_{1}$ - по-прежнему суммарное поглощенное в цикле тепло:

$$Q_{1}\ =\ \sum\,\Delta Q_{i+}\;.$$

Аналогично поступим с участками цикла, на которых идет выделение тепла, только температуры отдельных участков будем сравнивать с минимальной температурой $T_{2}$. Тогда

$$\frac{\mid\Delta Q_{i-}\mid}{T_{i}}\ \leq\ \frac{\mid\Delta Q_{i-}\mid}{T_{2}}\;.$$

Для суммарного изменения энтропии на этой совокупности участков получаем

$$-\,\Delta S_{-}\ \leq\ \frac{Q_{2}}{T_{2}}\;.$$

Здесь $Q_{2}$ - суммарное выделенное тепло (по абсолютной величине), знак "$-$" учитывает, что выделение тепла сопровождается уменьшением энтропии, то есть $\Delta S_{-}$ - отрицательная величина. Поскольку цикл обратим, то, в соответствии с принципом энтропии,

$$\Delta S_{+}\ =\ -\,\Delta S_{-}\;,$$

что с учетом полученных выше неравенств дает

$$\frac{Q_{1}}{T_{1}}\ \leq\ \frac{Q_{2}}{T_{2}}\;,\;\;\;\;\; \... ...}\;\;\;\;\;\; \frac{Q_{2}}{Q_{1}}\ \geq\ \frac{T_{2}}{T_{1}}\;.$$

Таким образом, для к.п.д. цикла имеем:

$$\eta\ =\ 1\ -\ \frac{Q_{2}}{Q_{1}}\ \leq\ 1\ -\ \frac{T_{2}}{T_{1}}\;,$$

то есть утверждение доказано.

Теперь проведем доказательство второго утверждения. Рассмотрим два цикла Карно, действующих между нагревателем с температурой $T_{1}$ и холодильником с температурой $T_{2}$, причем первый цикл будет обратимым, а второй может быть как обратимым, так и необратимым.

Рис. 15 

Пусть обратимый цикл проводится вобратном направлении, то есть тепло $Q_{2}$ поглощается от холодильника при температуре $T_{2}$, тепло $Q_{1}$ отдается нагревателю при температуре $T_{1}\,>\,T_{2}$. В соответствии с первым началом термодинамики для этого над рабочим телом должна совершаться внешняя работа

$$A_{\text{вн}}\ =\ Q_{1}\,-\,Q_{2}\ =\ -\,A\;,$$

а из второго начала следует, что

$$\frac{Q_{2}}{Q_{1}}\ =\ \frac{T_{2}}{T_{1}}\;.$$

Степень сжатия во втором цикле подберем таким образом, чтобы тепло, отдаваемое холодильнику, равнялось $Q_{2}$. От нагревателя при этом будет поглощаться тепло $Q^{\prime}_{1}$. Действие циклов схематически изображено на рис. 15. Если предположить, что к.п.д. второго цикла $\ \eta_{2}\$ больше, чем к.п.д. первого цикла $\ \eta_{1}$, то

$$1\ -\ \frac{Q_{2}}{Q_{1}}\ <\ 1\ -\ \frac{Q_{2}}{Q^{\prime}_{1}}\;,$$

или

$$Q^{\prime}_{1}\,>\,Q_{1}\;.$$

При этом в результате выполнения обоих циклов будем иметь

$$A_{\text{вн}}\ =\ Q_{1}\,-\,Q_{2}\ <\ A^{\prime}\ =\ Q^{\prime}_{1}\,-\,Q_{2}\;,$$

то есть получаем машину, которая производит полезную работу $A^{\prime}\,-\,A_{\text{вн}}$ только за счет поглощения от нагревателя тепла $Q^{\prime}_{1}\,-\,Q_{1}$, так как тепло, отданное холодильнику в сумме за два цикла, равно нулю. Это противоречит принципу Томсона, следовательно, наше предположение о том, что $\ \eta_{2}>\eta_{1}$, неверно. Тем самым доказано, что

$$\eta_{2}\ \leq\ \eta_{1}\;.$$

Два следствия из теоремы Карно можно объединить и сформулировать следующим образом.

К.п.д. идеального обратимого цикла Карно является максимальным по отношению к любым (обратимым и необратимым) циклам, осуществляемым между одними и теми же предельными температурами.

Вопросы и задачи

6.1. Могут ли две обратимые адиабаты пересекаться?

Рис. 16 

6.2. Рабочее тело совершает два круговых процесса, включающих изотермическое расширение, изобарное сжатие до первоначального объема и изохорное нагревание. Промежуточные состояния рабочего тела в обоих циклах одинаковы, за исключением изотермических
участков. Изотермическое расширение в первом цикле происходит обратимо, а во втором - необратимо. В каком из двух циклов рабочее тело поглощает больше тепла?

6.3. Найти к.п.д. цикла, изображенного на рис. 16, если известно, что $T_{2}\ =\ 3\,T_{1}$.

6.4. Тепловая машина осуществляет цикл, состоящий из изотермы ${\it 1 \rightarrow 2}$, изохоры ${\it 2\rightarrow3}$ и адиабаты ${\it 3\rightarrow1}$ (рис. 17). Полезная работа в цикле равна $A$, разность максимальной и минимальной температур - $\Delta T$. Найти к.п.д. машины, если известно, что рабочим телом является один моль идеального газа с постоянной теплоемкостью $C_{v}$.

Рис. 17 

6.5. Тепловая машина, рабочим веществом которой является идеальный газ с молярной теплоемкостью $C_{v}\,=\,3/2\,R$, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. При этом объем газа меняется от $V$ до $2\,V$, а давление от $p$ до $2\,p$. Во сколько раз работа $A$, совершаемая в этом цикле, меньше работы $A_{k}$, совершаемой в цикле Карно с теми же наибольшей и наименьшей температурами и тем же количеством поглощенного от нагревателя тепла?

6.6. Найти к.п.д. цикла Отто, состоящего из двух изохор и двух адиабат (рис. 18). Рабочим телом считать идеальный газ. Результат выразить через степень сжатия $\varepsilon = V_1/V_2$.

6.7. Найти к.п.д. цикла Дизеля, состоящего из изохоры, изобары и двух адиабат (рис. 19). Рабочим телом считать идеальный газ. Результат выразить через степень сжатия $\varepsilon = V_1/V_2$ и степень предварительного расширения $\rho = V_3/V_2$.

Рис. 18 

Рис. 19 

6.8. Доказать эквивалентность принципа Томсона (принципа невозможности вечного двигателя второго рода), принципа энтропии и принципа Клаузиуса.

Далее: 7.  Холодильные машины Вверх: Термодинамика Назад: 5.4.  Второе начало термодинамики